ELIPSE

"ELIPSE"

La elipse es la curva plana, simple y cerrada.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Una elipse es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• El semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F₁ y F₂ son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F₁F₂, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

${\displaystyle PF_{1}+PF_{2}=2a\,}$

donde ${\displaystyle a\,}$ es la medida del semieje mayor de la elipse.

La excentricidad angular ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad ${\displaystyle \varepsilon }$.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\overline {\text{PF}}}{\overline {\text{PD}}}}}$

La descripción corresponde a las imágenes de la derecha. 

Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor.

El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro.

Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F₁ - F₂, o F' - F" .

El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c.

Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.              

             

Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.  

${\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}(\varepsilon )=\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=2\tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right);\,\!}$